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3分の2のドア
1990年、確率をめぐる有名な論争が、ひとりの雑誌コラムニストと1万人の読者のあいだで繰り広げられました。そして、いちばん見苦しく振る舞ったのは、博士号を持つ読者たちでした。これは、人前で考えを変えるにはどんな代償がいるのか、そして、それを進んで払うのは誰なのかをめぐる物語です。
№ 0052026年1月読了時間6分Pedrum Shokouhi
Craig Whitaker
メリーランド州コロンビアその質問がParade誌に届いたのは、1990年の晩夏のことでした。差出人は、メリーランド州コロンビアの読者、Craig Whitaker。一見すると、何でもない質問でした。あなたはゲーム番組に出ています。ドアは三つ。一つの向こうには車、残りの向こうにはヤギ。あなたは1番のドアを選びます。すると、車の在りかを知っている司会者が3番のドアを開けてヤギを見せ、2番のドアに変えてもいいですよ、と言います。変えたほうが得でしょうか。答えたのはMarilyn vos Savantでした。彼女のコラムは、世界最高のIQとしてギネスブックに載った経歴を看板に連載されていて、その肩書きは、読む人によって、神託にも標的にもなりました。彼女の答えは、たった3文で済みました。はい、変えるべきです。最初に選んだドアが当たる確率は3回に1回、変えれば3回に2回です。火薬庫にマッチを投げ込んだも同然でした。
Parade
1990年9月9日手紙は最初、ぽつぽつと届く程度でしたが、やがて雪崩になりました。最終的におよそ1万通。そして誰もが覚えているのが、そのうち1,000通近くが博士号の持ち主によるものだったという数字です。大学の便箋に書かれたものも多く、単に異を唱えるだけでなく、異を唱える自分を嬉々として演じてみせるものも少なくありませんでした。その悦に入った調子は、書き手自身が出廷しているとは知らなかった裁判の、証拠のように読めます。「あなたは間違えた。それも、とんでもない大間違いだ」と書いたのは、ジョージ・メイソン大学の数学者です。「この国にはすでに数学的無知があふれている。世界最高のIQを名乗る人物にまで、それを広められてはたまらない。恥を知れ！」と書いたのは、フロリダ大学の別の人物でした。ある書き手は、女性は確率の問題をただ違った見方で見るのだろう、とまで示唆しました。語気がすべてを物語っています。算数に向かって「恥を知れ！」と書く人はいません。それを書くのは、地位に対してです。教授の肩書きもない雑誌の有名人が、資格のある人々の間違えたところで正しかった、という耐えがたい光景に対して書くのです。彼女は、あらゆる点で正しかった。
このエッセイの読者のなかには、いまこの瞬間、1,000人の博士たちを捉えたのと同じ確信を抱いている人もいるでしょう。そこで、罠そのものに1段落だけ使わせてください。この罠は美しいのです。司会者がドアを開けると、ドアは二つ残ります。すると頭は、選択肢が二つなのを見て、自然法則のような落ち着き払った調子で「五分五分だ」と宣言します。誤りは、司会者を乱数のように扱っていることです。司会者は実際には、情報です。最初の選択は、世界を二つの領域に分けました。あなたのドアは確率の3分の1を持ち、残りの二つは3分の2を持っています。そこへ司会者が3分の2の領域に踏み込み、車がどこにあるかを正確に知ったうえで、空だと確信しているドアを取り除きます。この領域の3分の2が薄まるわけではありません。むしろ濃縮され、そのすべてが、司会者があえて開けなかったドアの上に集まるのです。ドアを変えるとは、ドアを一つ選ぶことではありません。残りの二つのドアを両方選ぶことです。司会者が、ハズレを親切にも脇へ片づけてくれたうえで。それでも霧が晴れないなら、100枚のドアの版を試してください。100枚のうち一つを選び、司会者が98枚の空のドアを開けながら、残る一枚だけを注意深く避けていくのを見届けます。そのうえで、真顔で自問してみてください。いまも五分五分でしょうか。100枚のドアの版を前にして、無傷でいられる人はいません。私はそのマシンを作りました。証拠はすべて記録されます。
モンティ・ホール
The New York Times、1991年7月21日1990年の出来事を、頭の体操からケーススタディへと変えるのは、その後に起きたこと、そして起きなかったことです。vos Savantは退きませんでした。続く3回のコラムで、彼女は論理を述べ直し、手紙を実名つきで掲載し、そして最善の一手を打ちました。全米の数学の教室に、紙コップとペニー硬貨で実験してほしいと呼びかけたのです。何万人もの子どもたちがゲームを演じ、結果を集計しました。子どもたちは、当然ながら3分の2という結果を得ました。そして、教授たちの手紙とは違い、子どもたちの手紙は喜びにあふれていました。一方、世界で最も肩書きの重い抵抗者だったポール・エルデシュは、おそらく20世紀で最も多作な数学者ですが、同僚に正解を示されても受け入れませんでした。同僚Andrew Vázsonyiの記述によれば、彼は不機嫌なままで、コンピューター・シミュレーションという経験的な反証を見せられてようやく折れ、それでもなお、集計結果だけでなく理由を知りたがったといいます。そして本物の司会者、モンティ・ホール本人は、1991年にThe New York Timesの記者を自宅のダイニングに招き、テーブル越しに車の鍵を使ってゲームを再現して見せ、この騒動を正しく診断しました。そのうえで、理論家の誰もが飛ばしていた実務家の但し書きを添えています。本物の番組では、ドアを変えるかどうかを尋ねる義務は一切なく、その申し出を、場面を選んで、心理的な駆け引きの餌として使うこともできたというのです。この興行師は、終身在職権を持つ手紙の書き手たちよりも、条件付き確率をよく理解していました。給料がそれにかかっていたからです。
ここから引き出される標準的な教訓は、人間は確率が苦手だということで、それは本当ですが、退屈です。おもしろい教訓は、間違えることの社会学にあります。この一件は、そのテーマについて私たちが持つ、最も澄んだ自然実験だからです。誰もが同じ罠から出発します。違うのは出口です。子どもたちは即座に考えを改めました。実験をやってみたうえ、守るべき立場がなかったからです。エルデシュは渋々改めました。証拠が他の道を残さなかったために、老人が自分自身の直観をマットに押さえ込む格好で。それもまた、一種の気高さです。そして、手紙の書き手のうち、気が滅入るほどの割合は、まったく改めませんでした。改めることをほぼ不可能にする、ただ一つのことをしていたからです。軽蔑の筆さばきとともに、大学の便箋の上で、自分の確信に署名していたのです。心は、信念を驚くほど潔く手放すことがあります。けれども、他人が疑ったことを公然と嘲笑した信念のためなら、死ぬまで戦います。vos Savantの批判者たちが守っていたのは、「恥を知れ！」と書いた自分自身でした。どんなシミュレーションも、そのドアには届きません。
私はこの一件を、市場や組織の文脈でしばしば考えます。どちらも、意見を公の約束へと変換する機械であり、ドアの問題は、その機械がどこで詰まるかを示しているからです。ポジションを買っただけの投資家は、それを売れます。ポジションをポッドキャストで説明してしまった投資家は、いまや二つの資産、株式とストーリーを持っていて、たいていは株式を最後に手放します。戦略に内心では疑いを抱いている経営陣は、静かに軌道修正できます。けれども、戦略にスライドとスローガンとタウンホール・ミーティングがついた途端、反証がビルに届きはじめます。モンティが開けたドアのように、情報価値があり、曖昧さがなく、それでいてなぜか決定打にはなりきらない形で。ここから導かれる規律は、抽象的な謙虚さではありません。誰もが賛成し、誰も予定表に入れない、あの謙虚さのことです。規律は構造のなかにあります。確信は、抜け出すコストの安い形で持っておくことです。「答えはこうだ」ではなく、「いまの私のモデルはこうだ」と言ってください。断定ではなく、確率を添えてください。70%と言った人は、死ぬ思いをせずに40%へ改められますが、「明らかだ」と言った人は、まったく改められません。証拠に基づいて考えを変えた同僚は、公の場で、大きな声でたたえてください。あなたのチームは、読者がvos Savantを見守ったように、その人に何が起きるかを見ていて、あなたの組織では率直さにどんな代償がかかるのかを、そこから結論づけているからです。
Marilyn vos Savant
『The Power of Logical Thinking』、1996年一方のvos Savantは、代償を払い、そして複利を受け取りました。1990年に便箋の上で嘲られた女性は、この一件の主人公として記憶されています。そして嘲りのほうは、ある特定の、永遠のタイプの記念碑として記憶されています。専門性は本物なのに、間違いとの付き合い方が致命的だった専門家です。ドアが三つ、車が一台、ヤギが二頭。そして算数の下には、人生がどう運ぶかをめぐる問いが横たわっています。司会者がドアを開けるとき、つまり現実が、予期していなかった事実を明かし、そっと乗り換えを持ちかけてくるとき、あなたは紙コップを手にした小学生でしょうか。それとも、便箋の側でしょうか。確率は乗り換えに味方します。たいていの場合、そうです。問題のすべては、最初に選んだドアが、署名したドアだったことにあります。
注記
- 元のコラムは、Craig Whitakerの手紙を受けて、1990年9月9日付のParadeに掲載されました。
- 郵便の量（約1万通、うち博士号の持ち主からは1,000通近く）と引用した反応は、vos Savantの続報コラムと、著書『The Power of Logical Thinking』（1996年）によります。教室での実験は、その後のコラムを通じた彼女自身の発案です。
- エルデシュの一件は、Andrew Vázsonyiの記述と、Paul Hoffmanの『放浪の天才数学者エルデシュ』（1998年）にあります。
- モンティ・ホールのダイニングでの実演と、司会者の裁量についての但し書きは、John Tierney, 「Behind Monty Hall’s Doors」、The New York Times, 1991年7月21日によります。