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La porte des deux tiers
En 1990, une célèbre querelle de probabilités a opposé une chroniqueuse de magazine à dix mille de ses lecteurs, et ce sont les lecteurs titulaires d’un doctorat qui se sont le plus mal conduits. C’est l’histoire de ce qu’il en coûte de changer d’avis en public, et de ceux qui acceptent de payer.
N° 005janvier 20266 min de lecturePedrum Shokouhi
Craig Whitaker
Columbia, MarylandLa question est arrivée au magazine Parade à la fin de l’été 1990, sous la plume d’un lecteur de Columbia, dans le Maryland, nommé Craig Whitaker, et elle ne payait pas de mine. Vous êtes dans un jeu télévisé. Trois portes. Derrière l’une, une voiture ; derrière les autres, des chèvres. Vous choisissez la porte numéro un. L’animateur, qui sait où se trouve la voiture, ouvre la porte numéro trois, découvrant une chèvre, et vous demande si vous voulez changer pour la porte numéro deux. Avez-vous intérêt à changer ? Celle qui répondait était Marilyn vos Savant, dont la chronique tenait à sa mention dans le Livre Guinness des records pour le QI le plus élevé jamais enregistré, un titre qui faisait d’elle, selon le lecteur, un oracle ou une cible. Sa réponse tenait en trois phrases. Oui, changez. Votre premier choix gagne une fois sur trois ; changer gagne deux fois sur trois. Elle aurait tout aussi bien pu mettre le feu à un bureau de poste.
Parade
9 septembre 1990Les lettres ont d’abord coulé au compte-gouttes, puis se sont abattues en avalanche : une dizaine de milliers au bout du compte, et le chiffre dont tout le monde se souvient, près d’un millier signées de titulaires d’un doctorat, beaucoup sur papier à en-tête d’université, beaucoup ne se contentant pas de contredire mais mettant en scène leur désaccord avec un tel délice qu’elles se lisent aujourd’hui comme des pièces à conviction dans un procès dont leurs auteurs ignoraient qu’ils y assistaient. « Vous avez fait une bourde, et une bourde monumentale », a écrit un mathématicien de George Mason. « Il y a déjà bien assez d’illettrisme mathématique dans ce pays, nous n’avons pas besoin que le QI le plus élevé du monde en propage davantage. Honte à vous ! », a écrit un autre, de l’université de Floride. Un correspondant a avancé que les femmes abordent simplement les problèmes de probabilités autrement. C’est le ton qui trahit. Personne n’écrit « Honte à vous ! » à propos d’arithmétique ; on l’écrit à propos du statut, du spectacle intolérable d’une célébrité de magazine, sans poste à l’université, qui a raison là où les diplômés se trompent. Elle avait raison sur toute la ligne.
Puisque certains lecteurs de cet essai éprouvent en ce moment même la certitude qui s’est emparée d’un millier de docteurs, laissez-moi consacrer un paragraphe au piège lui-même, car il est beau. Une fois que l’animateur a ouvert une porte, il en reste deux, et l’esprit, voyant deux options, annonce une chance sur deux avec la sérénité d’une loi de la nature. L’erreur est de traiter l’animateur comme du hasard, alors qu’il est de l’information. Votre premier choix a coupé le monde en deux régions : votre porte, qui détient un tiers de la probabilité, et l’autre paire, qui en détient deux tiers. L’animateur entre alors dans la région des deux tiers et, sachant exactement où est la voiture, retire une porte dont il est sûr qu’elle est vide. Il n’a pas dilué les deux tiers de cette région ; il les a concentrés, tous, sur la porte qu’il s’est ostensiblement abstenu d’ouvrir. Changer, ce n’est pas choisir une porte ; c’est choisir les deux autres à la fois, l’animateur ayant eu l’obligeance d’écarter la porte perdante. Si le brouillard persiste, passez à la version à cent portes : choisissez une porte sur cent, regardez l’animateur en ouvrir quatre-vingt-dix-huit vides en contournant soigneusement une seule porte, et demandez-vous, sans rire, si c’est maintenant une chance sur deux. Personne ne résiste à la version à cent portes. J’ai construit la machine ; elle garde les preuves.
Monty Hall
The New York Times, 21 juillet 1991Ce qui fait de 1990 une étude de cas plutôt qu’une simple énigme, c’est ce qui s’est passé ensuite, et ce qui ne s’est pas passé. Vos Savant n’a pas reculé. Au fil de trois chroniques supplémentaires, elle a réexposé le raisonnement, publié les lettres avec les noms des signataires, puis joué son meilleur coup : demander aux classes de maths d’Amérique de refaire l’expérience avec des gobelets en carton et des pièces d’un cent, des dizaines de milliers d’écoliers distribuant le jeu et comptabilisant les résultats. Les enfants ont trouvé deux tiers, bien sûr, et leurs lettres, contrairement à celles des professeurs, rayonnaient de joie. Pendant ce temps, le plus titré des récalcitrants de la planète, Paul Erdős, sans doute le mathématicien le plus prolifique du siècle, a rejeté la bonne réponse quand un collègue la lui a montrée et est resté contrarié, selon le récit de son collègue Andrew Vázsonyi, jusqu’à ce qu’on lui montre une simulation informatique, un démenti empirique, et même alors il voulait la raison, pas seulement le décompte. Et Monty Hall lui-même, le véritable animateur, a invité en 1991 un journaliste du New York Times dans sa salle à manger, a fait jouer la partie sur la table avec des clés de voiture et a diagnostiqué toute l’affaire avec justesse, en ajoutant la note de bas de page du praticien que tous les théoriciens avaient sautée : dans la vraie émission, il n’avait aucune obligation de proposer un changement, et pouvait utiliser l’offre de façon sélective, psychologique, comme un appât. Le showman comprenait les probabilités conditionnelles mieux que les auteurs de lettres titulaires de leur chaire, parce que son salaire en dépendait.
La morale habituelle qu’on en tire est que les êtres humains sont mauvais en probabilités, ce qui est vrai et ennuyeux. La morale intéressante concerne la sociologie de l’erreur, car cet épisode est l’expérience naturelle la plus propre dont nous disposions sur le sujet. Tout le monde tombe dans le même piège ; c’est la sortie qui diffère. Les enfants ont révisé leur jugement sur-le-champ, parce qu’ils avaient mené l’expérience et n’avaient aucune position à défendre. Erdős l’a révisé à contrecœur, un vieil homme terrassant sa propre intuition parce que les preuves ne laissaient pas d’autre issue, ce qui est une forme de noblesse à part entière. Et une part désolante des épistoliers n’a jamais rien révisé du tout, parce qu’ils avaient fait l’unique chose qui rend la révision presque impossible : ils avaient signé leur certitude, sur papier à en-tête, avec un panache de mépris. L’esprit abandonne une croyance avec une grâce surprenante ; il se battra jusqu’à la mort pour une croyance dont il a publiquement raillé quiconque doutait. Les détracteurs de vos Savant défendaient la version d’eux-mêmes qui avait écrit « Honte à vous ! », et aucune simulation ne peut atteindre cette porte.
Je repense souvent à cet épisode à propos des marchés et des organisations, parce que les deux sont des machines à transformer des opinions en engagements publics, et que le problème des portes montre où la machine se grippe. Un investisseur qui a simplement acheté une position peut la vendre ; celui qui a expliqué sa position dans un podcast possède désormais deux actifs, le titre et le récit, et se séparera généralement du titre en dernier. Une équipe dirigeante qui doute en privé de la stratégie peut l’ajuster discrètement ; dès que la stratégie a derrière elle une diapositive, un slogan et une réunion plénière, les preuves contraires se mettent à arriver dans l’immeuble comme la porte ouverte de Monty, instructives, sans ambiguïté, et pourtant jamais tout à fait suffisantes. La discipline qui en découle n’est pas l’humilité dans l’abstrait, que tout le monde approuve et que personne ne planifie. Elle est structurelle : détenez vos certitudes sous des formes dont il est peu coûteux de sortir. Dites « mon modèle actuel est » plutôt que « la réponse est ». Associez des probabilités plutôt que des verdicts, car celui qui a dit soixante-dix pour cent peut passer à quarante sans en mourir, tandis que celui qui a dit « évidemment » ne peut plus rien réviser du tout. Louez, bruyamment, en public, le collègue qui change d’avis face aux preuves, car votre équipe regarde ce qui arrive à cette personne comme les lecteurs regardaient vos Savant, et en tire des conclusions sur ce que coûte la franchise dans vos murs.
Marilyn vos Savant
The Power of Logical Thinking, 1996Vos Savant, pour sa part, a payé le prix et encaissé les intérêts composés. La femme raillée sur papier à en-tête en 1990 reste dans les mémoires comme la protagoniste de toute l’affaire, et la raillerie comme un monument à un type précis et éternel : l’expert dont l’expertise était réelle mais dont le rapport à l’erreur fut fatal. Trois portes, une voiture, deux chèvres, et sous l’arithmétique une question sur la façon dont une vie se déroule : quand l’animateur ouvre une porte, quand la réalité révèle un fait inattendu et vous propose discrètement de changer, êtes-vous l’écolier aux gobelets en carton, ou le papier à en-tête ? Les probabilités plaident pour le changement. Presque toujours. Tout le problème, c’est que votre premier choix était celui que vous aviez signé.
Notes
- La chronique originale a paru dans Parade le 9 septembre 1990, en réponse à la lettre de Craig Whitaker.
- Le volume du courrier (environ dix mille lettres, près d’un millier de docteurs) et les réponses citées proviennent des chroniques de suivi de vos Savant et de son livre The Power of Logical Thinking (1996) ; les expériences en classe étaient de sa propre initiative, au fil des chroniques suivantes.
- L’épisode Erdős est raconté par Andrew Vázsonyi et dans Erdős, l’homme qui n’aimait que les nombres (1998) de Paul Hoffman.
- La démonstration de Monty Hall dans sa salle à manger et sa réserve sur la liberté de l’animateur proviennent de John Tierney, « Behind Monty Hall’s Doors », The New York Times, 21 juillet 1991.